a) Vẽ đường thẳng \(\Delta :x + 2y - 3 = 0\) đi qua 2 điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\).

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(0 + 2.0 - 3 < 0\) đúng.

Suy ra miền nghiệm của BPT đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) (kể cả \(\Delta \)) chứa điểm \(O\) như hình vẽ

$a) Biểu diễn trong hệ trục tọa độ \(O (ảnh 1)$

b) Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc. \((x,y \in N)\)

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 10y \le 600\\4x + 3y \le 240\end{array} \right.\]

Mỗi tháng khi bán \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc lợi nhuận thu được là

\[F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y\]. (nghìn đồng)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \[F\left( {x;y} \right)\] khi \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \[OABC\] với tọa độ các đỉnh \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)\].

$a) Biểu diễn trong hệ trục tọa độ \(O (ảnh 2)$

Tính giá trị của biểu thức \[F\] tại các đỉnh của tứ giác này

\[F\left( {0;0} \right) = 0,\quad F\left( {0;60} \right) = 45000,\quad F\left( {24;48} \right) = 45600,\quad F\left( {60;0} \right) = 24000.\]

So sánh các giá trị thu được của \[F\] ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \[F\left( {24;48} \right) = 45600.\]

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[24\] kệ sách và \[48\] bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ ∣ ∣ ∣ −−→ AB − −−→ AC ∣ ∣ ∣ .