Cho tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối nón xoay được tạo thành khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng:

Phương pháp giải

Bước 1: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là R.

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích hình cầu tạo thành: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)

Bước 2: Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích khối nón tạo thành:\({V_2} = \frac{1}{3}\pi .B{H^2}.AH = \frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Bước 3: Thể tích của khối nón xoay được tạo thành  khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng

 \(AD\) bằng: \({V_1} - {V_2} = \frac{{23\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{216}}\).

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Lời giải

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \frac{{BC}}{{2{\rm{sin}}A}} = \frac{a}{{2{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích hình cầu tạo thành: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{27}}\)

Khi quay quanh đường thẳng \(AD\) thì thể tích khối nón tạo thành:\({V_2} = \frac{1}{3}\pi .B{H^2}.AH = \frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\)

Thể tích của khối nón xoay được tạo thành khi cho phần tô đậm quay quanh đường

thẳng \(AD\) bằng: \({V_1} - {V_2} = \frac{{23\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{216}}\).

 Chọn D