cho tam giác abc đều cạnh a m là trung điểm của bc tí ca-mc

Lời giải:

 

Ta có \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CM} = \widehat {CN}\] với MN // AC; MN = AC; AN = MC

Suy ra tứ giác MNAC là hình bình hành.

\[\widehat {CMN} = 120^\circ \left( {MN//AC;\widehat {ACM} = 60^\circ } \right)\]

\[{\rm{cos}}\widehat {CMN} = \frac{{M{N^2} + M{C^2} - C{N^2}}}{{2 \cdot MN \cdot MC}} = \frac{{ - 1}}{2}\]

Suy ra \[\frac{{{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - C{N^2}}}{{{a^2}}} = - \frac{1}{2}\]

\[C{N^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{4}\] nên \[CN = a\frac{{\sqrt 7 }}{2}\]

Do đó \[{\rm{cos}}\widehat {NCM} = \frac{{N{C^2} + C{M^2} - N{M^2}}}{{2 \cdot NC \cdot CM}} = \frac{{\frac{{7{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{{a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}.\]

Vậy \[\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {MC} .\]