Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tâm
Giải thích
Chọn C
Gọi M là trung điểm BC suy ra AM⊥BC;SM⊥BC.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì tam giác ABC đều cạnh a nên AM=a32;MG=13MA=a36 suy ra MG.MA=a24.
Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên BMSM=MHMC⇔MH.MS=BM.MC=a24.
Do đó MH.MS=MG.MA hay MHMG=MAMS nên tam giác MHG và tam giác MAS đồng dạng suy ra GH⊥SM.
Vì H thuộc (SAM) cố định khi S thay đổi trên d và GH⊥SM nên (C) là một phần của đường tròn đường kính GM do đó trong các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R=GM2=a312.