Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và BN là hai đường trung tuyến, AM = BN. Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác ABC vuông tại A; B. Tam giác ABC cân tại C; C. Tam giác ABC cân tại B;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi G là giao điểm của AM và BN.

Xét DABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra \({\rm{AG = }}\frac{2}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{BG = }}\frac{2}{3}{\rm{BN}}\)

Do đó \({\rm{MG = }}\frac{1}{3}{\rm{AM}}\), \({\rm{NG = }}\frac{1}{3}{\rm{BN}}\).

Mà AM = BN (giả thiết) nên AG = BG, MG = NG.

Xét ΔAGN và ΔBGM có

AG = BG (chứng minh trên),

\(\widehat {AGN} = \widehat {BGM}\) (hai góc đối đỉnh),

NG = MG (chứng minh trên)

Do đó ΔAGN = ΔBGM (c.g.c)

Suy ra AN = BM (hai cạnh tương ứng)

Lại có AN = \(\frac{1}{2}\)AC (vì N là trung điểm của AC);

          BM = \(\frac{1}{2}\)BC (vì M là trung điểm của BC).

Nên AC = BC.

Suy ra tam giác ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án B.