Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

 

a) cosAMB^+cosAMC^=0

Ta có: AMB^+AMC^=1800

AMC^=1800−AMB^

cosAMB^=−cos1800−AMB^=−cosAMC^

⇒cosAMB^+cosAMC^=−cosAMC^+cosAMC^=0

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cosAMB^ 

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos AMB^(1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos AMC^

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos AMC^ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC²

= 2MA.MB.cos AMB^ + 2MA.MC.cos AMC^ 

⇔2MA2+ BC24– AB2+BC24– AC2= 2MA.BC2.cosAMB^ + 2MA.BC2.cosAMC^

(Vì MB=MC=BC2)

2MA² = AB²+ AC²–BC22  –  ^BC22+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos

Û 2MA² = AB²+ AC²–BC22  + 2MA.MB.(cos AMB^ + cos AMC^)

Û 2MA² = AB²+ AC²– BC22

ÛMA2=AB2+AC2−BC222

⇔MA2=2AB2+AC2−BC24 (công thức đường trung tuyến).