Cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M (3;2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là G(2/3;2/3), I(1; - 2). Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ lớn hơn 2

23/35

Cho tam giác \(ABC\) có trung điểm của \(BC\) là \(M\left( {3;2} \right)\), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right),I\left( {1; - 2} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\), biết \(C\) có hoành độ lớn hơn \(2\).

\(C\left( {3; - 2} \right)\).

\(C\left( {9;1} \right)\).

\(C\left( {5;1} \right)\).

\(C\left( {4;2} \right)\).

Giải thích

Lời giải

Cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M (3;2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt là G(2/3;2/3), I(1; - 2). Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ lớn hơn 2 (ảnh 1)

Vì \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \) nên ta xác định được \(A\left( { - 4; - 2} \right)\).

Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có tâm \(I\), bán kính \(R = IA = 5\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(M\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IM} \) làm vectơ pháp tuyến, phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\).

Điểm \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\\x + 2y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 3\\x = 5,y = 1\end{array} \right.\).

Đối chiếu điều kiện đề bài ta có tọa độ điểm \(C\left( {5;1} \right)\). Chọn C.