Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng −−−→ MH ⋅ −−→ MA = 1 /4 BC^2 .

Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {CH} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)\] \[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

Vì \(H\) là trực tâm của \[\Delta ABC,\] nên \[BH \bot CA{\rm{ }},{\rm{ }}CH \bot BA\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} = 0,{\rm{ }}\overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\].

Do đó, \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]

\[ = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {BH} \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {CH} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\]

\( = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {CH} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Vậy \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\].