Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên AB→.HC→=0;  AC→.HB→=0.

Do M là trung điểm BC nên ta có:

2AM→=AB→+AC→

2HM→=HB→+HC→

Do đó ta có:

4MA→.MH→=2AM→.2HM→

=AB→+AC→HB→+HC→

=AB→.HB→+AB→.HC→+AC→.HB→+AC→.HC→

=AB→.HB→+AC→.HC→

=AB→HC→+CB→+AC→HB→+BC→

=AB→.CB→+AC→.BC→

=CB→AB→−AC→

=CB→.CB→=CB2=BC2

Vậy MH→.MA→=14BC2.

Ta có:

AH2=AH→2=MH→−MA→2=MH→2+MA→2−2MA→.MH→

=MH2+MA2−2.14.BC2

Do đó: MH2+MA2=AH2+12BC2