Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

SABC=12.AC.BC.sinACB^SCMN=12.CM.CN.sinACB^=12.12AC.12BC.sinACB^=14SABC

Suy ra: S_ABC = 4S_CMN = 603

SABG=23SABM=23.12SABC=13.603=203

Lại có: SABG=12.AG.BG.sinAGB^=12.23AM.23BN.sinAGB^=40.sinAGB^

⇒ sinAGB^=20340=32

Hay: AGB^=60°

Ta có: AB² = AG² + GB² – 2.AG.GB.cosAGB^

=23.152+23.12−2.23.15.23.12.cos60°=84

⇒ AB=221

M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ACB

Nên MN=12AB=12.221=21

Vậy MN=21