Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC,

6/10

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

$\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

$\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

$\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} = \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$ (nhân cả hai vế với vectơ $\vec{B C}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\vec{M' G'} = \vec{M G}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Do đó, ta có:

$3 \vec{M G} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$

$\Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + (\vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + M C^{2} - M B^{2} = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$ .