Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.

Lời giải

Vẽ AH và GK vuông góc với BC.

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = \(\frac{1}{3}\)AM ( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

\(\widehat {{\rm{AHM}}}\) = \(\widehat {{\rm{GKM}}}\) = 90°

\(\widehat {{\rm{AMH}}}\) = \(\widehat {{\rm{GMK}}}\)

⇒ tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g).

⇒ \(\frac{{{\rm{GM}}}}{{{\rm{AM}}}} = \frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}\)

Có \(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{GBC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.GK}}{\rm{.BC}}}}{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.AH}}{\rm{.BC}}}}\) = \(\frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}\).

Chứng minh tương tự ta được:

S_GBC = S_GAB = S_GAC = \(\frac{1}{3}\)S_ABC. ( ĐPCM).