Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH:4x + y - 7 = 0

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định phương trình đường thẳng

Lời giải

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + y = 7}\\{3x + y = 6}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array} \Rightarrow A\left( {1;3} \right)} \right.} \right.\)

Gọi \(M\left( {a,b} \right)\). Vì \(M \in AM \Rightarrow M\left( {a;6 - 3a} \right)\)

\(M\) là trung điểm \(BC\) nên

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 2{x_M} - {x_B} = 2a + 2}\\{{y_C} = 2{y_M} - {y_B} = 12 - 6a + 1 = 13 - 6a}\end{array} \Rightarrow C\left( {2a + 2;13 - 6a} \right)} \right.\)

Vì \(AH\) là đường cao \(\Delta ABC \Rightarrow BC \bot AH \Rightarrow \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {{u_{AH}}} = 0\)

\(\overrightarrow {BC} = \left( {2a + 4;14 - 6a} \right),\overrightarrow {{u_{AH}}} = \left( { - 1;4} \right)\)

\( \Rightarrow - 2a - 4 + 4\left( {11 - 6a} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2a - 4 + 44 - 24a = 0 \Rightarrow 40 = 26a \Rightarrow a = \frac{{20}}{{13}}\)

\( \Rightarrow C\left( {\frac{{66}}{{13}};\frac{{49}}{{13}}} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua \(AC\) là: \(10x - 53y + 149 = 0\)