Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC. Gọi N là điểm đối xứng với B qua C.

15/18

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $AC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$.

$Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $AC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$. (ảnh 1)$

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} $.

ĐúngSai

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} $.

ĐúngSai

$\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN} $.

ĐúngSai

Gọi $P$ là điểm trên đoạn $AN$ sao cho $B,M,P$ thẳng hàng. Khi đó $\overrightarrow {BP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} $.

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Do $M$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec 0$.

b) Đúng. Theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} $.

c) Đúng. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$.

Vì $N$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm của $BN \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BN} $.

Thay vào ta được: $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BN} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN} $.

d) Đúng. Giả sử $\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AN} $ với $0 < k < 1$.

Ta có: $\overrightarrow {BP} = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN} $.

Mặt khác, $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN} $.

Vì $B,M,P$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {BP} = x\overrightarrow {BM} $, suy ra $\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN} = \frac{x}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{x}{4}\overrightarrow {BN} $.

Do $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BN} $ không cùng phương nên: $\left\{ \begin{array}{l}1 - k = \frac{x}{2}\\k = \frac{x}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\k = \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Do đó $\overrightarrow {BP} = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} $.