Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng: a) a^2 + b^2 = 5c^2 .

Hướng dẫn giải

a) Gọi \[M\], \[N\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[BC\], \[AC\].

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Khi đó: \[AG = \frac{2}{3}AM,{\rm{ }}BG = \frac{2}{3}BN\].

Theo định lý Pythagore ta có:

\[{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) = \frac{4}{9}\left( {{c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}} \right)\]

\[ \Rightarrow 5{c^2} = {a^2} + {b^2}\].

b) Do \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\] nên \[\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\]

Mà \[2(\cot A + \cot B) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{{c^2}}}{S}\]

\[ \Rightarrow cotC = 2\left( {cotA + cotB} \right)\].