Cho tam giác ABC, có góc góc BAC = 45 độ. Trong tam giác, các đường cao cắt nhau tại H. Lần lượt lấy các trung điểm của AB, AC, HC và HB là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP vuông góc NQ.

Ta có MN, PQ là đường trung bình của các tam giác ABC và HBC

Suy ra MN // PQ và MN = PQ

Khi đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành

Có \(\widehat {BAC} = 45^\circ \) \(\widehat {ABH} = \widehat {ACH} = 45^\circ \) (cùng phụ với \(\widehat {BAC}\))

Suy ra AK = BK, HK = CK

Do đó ∆AHK = ∆CBK (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BC (hai cạnh tương ứng).

Hai đoạn thẳng MN và NP là các đường trung bình của tam giác ABC và AHC

Do đó: MN = NP (do AH = BC), MN NP (do AH BC).

Nên MNPQ là hình vuông

Vậy MP $\perp$ NQ.