Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao. a) Chứng minh

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

SBDE=12.BD.BE.sinB

SABC=12.BA.BC.sinB

Suy ra SBDESBAC=12BD.BE.sinB12BA.BC.sinB=BD.BEBA.BC

Vậy SBDESBAC=BD.BEBA.BC

b) Từ S_ABC = 9S_BDE ⇒ SBDESBAC=BD.BEBA.BC=19

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = BEBC.

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = BDAB.

Suy ra cos²B = BEBC. BDAB = BD.BEBA.BC=19

⇒cosB=±13

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = 13.

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra sinB = 

1−cos2B=1−(13)2=223

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

BEBC= BDAB=  13(cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =13.

⇒ DEAC=13⇒AC=3DE=3.22=62

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

ACsinB=2R; DEsinB=2R'⇒R'=DE2sinB=222.223=32(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒ RR'=ACDE=6222=3

⇒ R = 3R' = 3.32=92

Vậy cosB = 13; R = 92.