Gọi \(B\) là vị trí tàu du lịch hỏng động cơ, \(C\) là vị trí tàu cứu hộ tiếp cận tàu du lịch, \(t\) (giờ) là thời gian tàu cứu hộ di chuyển (\(t > 0\)).

Ta có \(AB = 50 \cdot 2 = 100\) (hải lí), \(BC = 10\left( {t + \frac{1}{2}} \right) = 10t + 5\), \(AC = 74t\).

Tại \(B\), hướng \(BA\) là \(N75^\circ W\), hướng \(BC\) là \(S45^\circ W\) nên \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ \).

Theo định lí côsin: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ \).

\( \Leftrightarrow {\left( {74t} \right)^2} = 10000 + {\left( {10t + 5} \right)^2} - 100\left( {10t + 5} \right)\)\( \Leftrightarrow 5376{t^2} + 900t - 9525 = 0 \Leftrightarrow 1792{t^2} + 300t - 3175 = 0\)

\(t = \frac{5}{4}\) (thỏa mãn) hoặc \(t > 0\) (loại).

Suy ra \(AC = 92,5\), \(BC = 17,5\). Khi đó:

\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{10000 + 8556,25 - 306,25}}{{2 \cdot 100 \cdot 92,5}} = \frac{{73}}{{74}} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 9,43^\circ \).

Tàu du lịch trôi theo hướng Tây Nam nên điểm \(C\) và hướng Nam từ \(A\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(AB\).

Do đó tia \(AC\) nằm giữa hướng Nam và tia \(AB\), hợp với hướng Nam một góc \(75^\circ - 9,43^\circ = 65,57^\circ \) về phía Đông.

Vậy tàu cứu hộ cần đi theo hướng khoảng \(S65,57^\circ E\) (sau \(1,25\) giờ sẽ tiếp cận được tàu du lịch)

Cho tam giác ABC có góc ABC = 45 độ, góc BCA = 105 độ và BC = 4.