Cho tam giác ABC có góc ABC = 120°, BC = 7 và AC = 13.

a) ĐÚNG. Áp dụng định lý sin cho tam giác \(ABC\):

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{AC}}{{2\sin B}} = \frac{{13}}{{2\sin 120^\circ }} = \frac{{13}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{13}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}\).

c) SAI. Đặt \(AB = c\). Áp dụng định lý côsin tại đỉnh \(B\):

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\)

\({13^2} = {c^2} + {7^2} - 2 \cdot c \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ \)

\(169 = {c^2} + 49 - 14c \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)\)

\({c^2} + 7c - 120 = 0\)

Giải phương trình bậc hai trên ta được \(c = 8\) (do \(c > 0\)).

Vậy độ dài \(AB = 8\) (không phải \(9\)).

b) SAI. Diện tích tam giác \(ABC\):

\({S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \sin 120^\circ  = 28 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 14\sqrt 3 \).

Đường cao \(BH\) ứng với cạnh \(AC\):

\({S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{{2{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}}{{AC}} = \frac{{2 \cdot 14\sqrt 3 }}{{13}} = \frac{{28\sqrt 3 }}{{13}}\)

d) ĐÚNG. Nửa chu vi tam giác \(ABC\): \(p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{8 + 7 + 13}}{2} = 14\).

Bán kính đường tròn nội tiếp \(r\): \(r = \frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}}{p} = \frac{{14\sqrt 3 }}{{14}} = \sqrt 3 \).

Diện tích hình tròn nội tiếp: \({S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi {r^2} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi \).

Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng