Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AG cắt BC tại N. Tính BN/BC}

Hướng dẫn giải 1.

. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{GH}}{{AH}} = \frac{1}{3}\).

• Xét tam giác \(ABH\) có \(MG\,{\rm{//}}\,BH\), ta có

\(\frac{{GH}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (theo định lí Thalès).

• Xét tam giác \(ABH\) có \(MN\,{\rm{//}}\,AH\), ta có

\(\frac{{BN}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (theo định lí Thalès).

Vì \(AH\) là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BH.\)

Ta có \(\frac{{BN}}{{BC}} = \frac{{BN}}{{2BH}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).

Vậy \(\frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{6}\).

2.

a) Xét \[{\rm{\Delta }}MNI\] và \[{\rm{\Delta }}MPK\] có:

\(\widehat {MIN} = \widehat {MKP}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\[\widehat {NMI} = \widehat {PMK}\,\;\left( {\widehat M\;{\rm{chung}}} \right)\]

Do đó ΔMNI∽ΔMPK  (g.g) .

Suy ra \(\frac{{NI}}{{PK}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{MI}}{{MK}}\).

b) Xét \[{\rm{\Delta }}NHK\] và \[{\rm{\Delta }}PHI\] có:

\(\widehat {NKH} = \widehat {PIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {NHK} = \widehat {PHI}\)

Do đó ΔNHK∽ΔPHI  (g.g)

Suy ra \(\frac{{NH}}{{HP}} = \frac{{HK}}{{HI}}\) hay \(HN \cdot HI = HK \cdot HP\) (đpcm)

c) Ta có: \[NI \cdot NH + PK \cdot PH = NH \cdot \left( {NH + HI} \right) + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + NH \cdot HI + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + HK \cdot HP + PK \cdot PH\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot \left( {HK + HP} \right)\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot HK + H{P^2}\]

\[ = N{K^2} + \left( {H{K^2} + 2HK \cdot HP + H{P^2}} \right)\]

\[ = N{K^2} + {\left( {HK + HP} \right)^2}\]\[ = N{K^2} + P{K^2} = N{P^2}\] (theo định lí Pythagore).

Vậy ta có đpcm.