Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC. Các đoạn thẳng BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Biết độ dài đoạn thẳng BC bằng 16 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC.

b) Sai. Xét ∆GBC có M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG nên MN là đường trung bình của tam giác GBC.

Do đó MN // BC và \(MN = \frac{{BC}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\)cm.

c) Đúng. Xét ∆ABG có E, M lần lượt là trung điểm của AB, BG nên EM là đường trung bình, suy ra \(EM = \frac{{AG}}{2}\).

d) Theo ý a), ED là đường trung bình của ∆ABC nên ED // BC và \(ED = \frac{{BC}}{2}\).

Tứ giác EDNM có ED // MN, ED = MN nên EDNM là hình bình hành.

Khi đó chu vi tứ giác EDNM là

\[P = 2\left( {MN + EM} \right) = 2\left( {8 + EM} \right)\] (cm).

Mà P = 26 cm nên 2(8 + EM) = 26

Suy ra 8 + EM = 13 cm nên EM = 5 (cm).

Như vậy, AG = 2EM = 2.5 = 10 (cm).