Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2DB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho EC/AC = 1/3.

a) Sai. Vì \[AD = 2DB\] nên \(\frac{{AD}}{{DB}} = 2\) suy ra \(\frac{{AD}}{{DB + AD}} = \frac{2}{{1 + 2}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

b) Đúng. Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Xét \(\Delta ABM\) có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thalès đảo ta có \(DG\,{\rm{//}}\,BM\) hay \(DG\,{\rm{//}}\,BC.\)

c) Đúng. Từ \[\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{1}{3}\] suy ra \[\frac{{AC - AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}\] hay \[1 - \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}\] nên \[\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}.\]

Xét \(\Delta ACM\) có \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thalès đảo ta có \[GE\,{\rm{//}}\,MC\] hay \(GE\,{\rm{//}}\,BC.\)

Qua điểm \(G\) có \(DG\,{\rm{//}}\,BC\) và \(GE\,{\rm{//}}\,BC\) nên theo tiên đề Euclid thì \(DG,\,\,GE\) trùng nhau hay \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng.

d) Đúng. Xét \(\Delta ABM\) có \(DG\,{\rm{//}}\,BM\) nên \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{DG}}{{BM}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Xét \(\Delta ACM\) có \(GE\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{GE}}{{CM}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Do đó \(\frac{{DG}}{{BM}} = \frac{{GE}}{{CM}},\) mà \(BM = CM\) (do \(M\) là trung điểm \(BC)\) nên \(DG = GE.\)

Lại có \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng nên \(G\) là trung điểm của \(DE.\)