Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D BC), AB = a, AD = b. Chứng minh rằng BD/CD = BA/CA, từ đó tìm tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD.

BH // CK \(\frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{BD}}{{CD}}\) (1)

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAH} = \widehat {CAK}\\\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \end{array} \right.\)

Do đó ∆ABH ᔕ ∆ACK (g.g)

\(\frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Ta có: \[\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.BH.AD}}{{\frac{1}{2}.CK.AD}} = \frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{a}{b}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{a}{{a + b}}\].