Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC).

10/25

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). Khi đó \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} + \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}}\) bằng

\(\frac{1}{2}\);

\(\frac{1}{3}\);

\(\frac{2}{3}\);

\(\frac{7}{6}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). (ảnh 1)

Vì MN // BC, EF // BC nên MN // BC // EF.

Trong tam giác ABH có EI // BH (I ∈ EF, H ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AH}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{2}{3}\).

Trong tam giác AIF có KN // IF (I ∈ EF, K ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AI}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} + \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}\).