Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, Gọi G,K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với HE. Biết rằng AC = 12 cm, độ dài  đoạn thẳng GK bằng bao nhiêu cm?

Đáp án: \(4\)

Vì \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HE.\)

Tứ giác \(AHCE\) có: \(I\) là trung điểm của cả hai đường chéo \(AC\) và \(HE\) nên tứ giác \(AHCE\) là hình bình hành.

Mà \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)) nên tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật.

Tam giác \(AHC\) có \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(HI,\;AM\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AHC.\) Do đó, \(HG = \frac{2}{3}HI,\;IG = \frac{1}{2}HG.\)

Tam giác \(AEC\) có \(K\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(AN,\;EI\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AEC.\) Do đó, \(EK = \frac{2}{3}EI,\;IK = \frac{1}{2}EK.\)

Vì \(EK = \frac{2}{3}EI,\;HG = \frac{2}{3}HI,\;HI = EI\) nên \(HG = EK\;\left( 1 \right).\)

Lại có: \(IG = \frac{1}{2}HG,\;IK = \frac{1}{2}EK,\;HG = EK\) nên \(IG = IK = \frac{1}{2}HG.\)

Ta có: \(GK = IG + IK = \frac{1}{2}HG + \frac{1}{2}HG = HG\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(HG = GK = KE.\) Mà \(HG + GK + KE = HE\) nên \(GK = \frac{1}{3}HE.\)

Vì tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật nên \(HE = AC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Do đó, \(GK = \frac{1}{3}HG = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(GK = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)