Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thỏa mãn S =( c + a - b)(c+ b - a) Chứng minh rằng: tan C = 8/15

Ta có

 \(\begin{array}{l}S = (c + a - b)(c + b - a) \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab\sin C = {c^2} - {(a - b)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab\sin C = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C - ({a^2} - 2ab + {b^2})\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\sin C = 1 - \cos C \Leftrightarrow \sin C = 4 - 4\cos C\end{array}\)

Vì \[{\cos ^2}C + {\sin ^2}C = 1\]

Do đó: \[{\mathop{\rm cosC}\nolimits} = \frac{{15}}{{17}},\sin C = \frac{8}{{17}}\]

Nên \(\tan C = \frac{8}{{15}}\).