Cho tam giác ABC có diện tích 72cm2 hai đường trung tuyến AM và BN có độ dài lần lượt là 12cm và 9cm a/ Tính độ dài vectơ {MN}

Đặt \(O = AM \cap BN\).

Từ giả thiết suy ra diện tích tam giác \(ABM\) bằng 36 cm².

Diện tích tam giác \(ABO\) bằng 24 cm².

Lại có \(AO = \frac{2}{3}AM = \) 8 cm; \(BO = \frac{2}{3}BN\)= 6 cm.

Suy ra tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).

Do đó, \(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} \) = 10 cm.

Khi đó \(MN = \frac{1}{2}AB = \) 5 cm (tính chất đường trung bình).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5\,\,{\rm{cm}}\).

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {MK} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KN} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {KB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CK} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm \(K\) là đường tròn tâm \(C\) bán kính 5 cm.