Cho tam giác ABC có điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DC = 1/2 BD , đoạn thẳng AD có trung điểm E . Một đường thẳng bất kì đi qua E cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại M và N . T

48/48

(1 điểm) Cho tam giác $ABC$ có điểm $D$nằm trên cạnh $BC$ sao cho $DC = \frac{1}{2}BD$, đoạn thẳng $AD$ có trung điểm $E$. Một đường thẳng bất kì đi qua $E$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính tỉ số $2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có điểm $D$nằm trên c (ảnh 1)$

Do đoạn thẳng $AD$ có trung điểm $E$ nên ta có: $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AE} $.

Do $M$ nằm trên cạnh $AB$ nên ta có: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AM} \,\,\left( {k > 1} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = k$.

Do $N$ nằm trên cạnh $AC$ nên ta có: $\overrightarrow {AC} = l\overrightarrow {AN} \,\,\left( {l > 1} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = l$.

Ta có:

$\overrightarrow {DB} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = - 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AD} $

$ \Rightarrow k\overrightarrow {AM} + 2l\overrightarrow {AN} = 6\overrightarrow {AE} \Rightarrow k\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EM} } \right) + 2l\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} } \right) = 6\overrightarrow {AE} $

$ \Rightarrow \left( {k + 2l - 6} \right)\overrightarrow {AE} = - k\overrightarrow {EM} - 2l\overrightarrow {EN} $

Do hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {MN} $ không cùng phương nên suy ra: $k + 2l - 6 = 0 \Leftrightarrow k + 2l = 6 \Leftrightarrow 2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}} = 6$.

Vậy $2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}} = 6$.