Cho tam giác ABC có các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Kẻ ID vuông góc AB; IE vuông góc AC (D thuộc AB; E thuộc AC). a) Chứng minh: tam giác BID = tam giác BIH

a) Kẻ \(HI \bot BC\) tại điểm \(H\).

Theo đề bài, các tia phân giác của \(\widehat B\) và \[\widehat C\] cắt nhau ở \(I\) nên \(IB\) và \(IC\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat B\) và \[\widehat C\].

Xét \(\Delta BID\) và \(\Delta BIH\) có:

\(\widehat {BDI} = \widehat {BHI} = 90^\circ \)

Cạnh \(IB\) chung

\(\widehat {IBD} = \widehat {IBH}\) (vì \(IB\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat B\)).

Do đó \(\Delta BID = \Delta BIH\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ câu a: \(\Delta BID = \Delta BIH\) suy ra \(ID = IH\) (hai cạnh tương ứng)   (1)

Xét \(\Delta CIE\) và \(\Delta CIH\) có:

\(\widehat {CEI} = \widehat {CHI} = 90^\circ \)

Cạnh \(IC\) chung

\(\widehat {ICE} = \widehat {ICH}\) (vì \(IC\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat C\)).

Do đó \(\Delta CIE = \Delta CIH\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(IE = IH\) (hai cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) suy ra \(ID = IE\) (đpcm).

c) Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta IAE\) có

\[\widehat {IDA} = \widehat {IEA} = 90^\circ \]

\(ID = IE\) (chứng minh trên)

Cạnh \(IA\) chung

Do đó \(\Delta IAD = \Delta IAE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(\widehat {IAD} = \widehat {IAE}\) (hai góc tương ứng).