Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn sin C = 2.sin B.cos A. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác cân

+ Biến đổi đẳng thức đề cho về \[c = 2.\,b.\cos A\]:

Ta có: \[\sin C = 2.\,\sin B.\cos A\]

\( \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\cos A\) (áp dụng định lí sin, suy ra được \(\sin C = \frac{c}{{2R}},\,\sin B = \frac{b}{{2R}}\))

 \( \Leftrightarrow c = 2.b.\cos A\) (1)

+ Sử dụng định lí côsin đưa ra kết quả \(a = b\) và kết luận tam giác cân tại \(C\).

Theo hệ quả định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Khi đó (1) \( \Leftrightarrow c = 2.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} \Rightarrow a = b\) hay \(BC = AC\).

Vậy tam giác \(ABC\)cân tại \(C\).