Cho tam giác ABC có các đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH . Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I ;

a) Dễ thấy AEH^=AFH^=90° (gt).

Tứ giác \[AEHF\] có AEH^+AFH^=180° (gt) nên nội tiếp đường tròn tâm \(I\).

b) Ta có tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) (gt), \(EM\) là trung tuyến

\( \Rightarrow EM = BM = CM\) hay  cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{E_2}}\]

Lại có \(H,E\) thuộc đường tròn tâm \(I\) nên  cân tại I \( \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{E_1}}\) mà \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_2}}\)

Gọi K là chân đường cao kẻ từ A đến BC, ta có tam giác BKH vuông tại K

Gọi K là chân đường cao kẻ từ A đến BC, ta có tam giác BKH vuông tại K

⇒B2^+H2^=90° mà B2^=E2^,H2^=E1^(cmt)⇒E2^+E1^=90° hay IEM^=90°⇒ME⊥IE

Chứng tỏ \(ME\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( I \right)\)ngoại tiếp tứ giác \[AEHF\].

Chứng minh tương tự ta có \(MF\) tiếp xúc với \(\left( I \right)\).