Cho tam giác ABC có BD và CE là đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết BD = CE. a) Chứng minh BG = CG; DG = GE. b) Chứng minh tam giác ABC cân.

a) Vì \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến\(BD\) và \(CE\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó ta có: \({\rm{BG\; = \;}}\frac{2}{3}BD;\)\(\;CG = \;\frac{2}{3}CE\).

Mà \[BD = CE\] (giả thiết) nên \[BG = CG\].

Ta có \(BD = BG + DG;\,\,CE = CG + EG\) nên \[GD = GE\].

Vậy \(BG = CG;\,\,DG = GE\).

b) Xét \(\Delta BGE\) và \(\Delta CGD\) có:

\(BG = CG\) (chứng minh trên)

\[\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\] (hai góc đối đỉnh)

\(DG = GE\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta BGE = \Delta CGD\;\)(c.g.c)

Suy ra \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(BE = \frac{1}{2}AB,\)\(CD = \frac{1}{2}AC\;\)(vì \(BD\) và \(CE\) là đường trung tuyến).

Do đó \(AB = AC\).

Vậy \(\Delta ABC\)là tam giác cân.