Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c và M là trung điểm của BC , AD là đường phân giác trong góc A . Tính −−→ AD^2 theo a , b , c .

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Suy ra \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = bc \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = bc \cdot \frac{{\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\)

\( \Rightarrow A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)

Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).

Suy ra \(\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC} \) (*)

Mặt khác \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \) thay vào (*) ta được

\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\)

\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).

Vậy \({\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).