Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24)
7/15
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).
a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2.
b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng:
S=pp−ap−bp−c.
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A
⇒cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=b2+c2−a22bc (1)
Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1
Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A
Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < A^< 180° nên sin A > 0.
Nên sinA=1− cos2A (2)
Từ (1) và (2) ta có:
sinA=1−b2+c2−a22bc2=2bc22bc2−b2+c2−a222bc2
=2bc2−b2+c2−a222bc2=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a22bc2
=b+c2−a2a2−b−c22bc=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c2bc
=a+b+ca+b+c−2aa+b+c−2ca+b+c−2b2bc
Lại có p=a+b+c2⇒a+b+c=2p
Khi đó: sinA=2p.2p−2a2p−2b2p−2c2bc=16pp−ap−bp−c2bc
Vậy sinA=2bcpp−ap−bp−c.
b) Diện tích tam giác ABC là S=12bcsinA.
Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c
Nên S=12bc.2bcpp−ap−bp−c=pp−ap−bp−c.
Vậy S=pp−ap−bp−c.