Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC . Gọi H là giao điểm của BD và CE . a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.

a) Chứng minh \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {ADH} = {90^ \circ }\).

Xét tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {AEH} + \widehat {ADH} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\).

\[ \Rightarrow ADHE\] là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \[{180^0}\]).

b) Chứng minh \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi  \(O\) là trung điểm\[BC\].

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BEC} = {{90}^ \circ }} \right.\)

Xét tam giác \[BDC\] có \[\widehat {BDC} = {90^0}\] và \[DO\] là đường trung tuyến nên \[OD = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] \[\left( 1 \right)\]

Xét tam giác \[BEC\] có \[\widehat {BEC} = {90^0}\] và \[EO\] là đường trung tuyến nên \[OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\]và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[OD = OE = OC = OB\]

Vậy tứ giác \(BCDE\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm\[BC\].