Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng 45 độ . Gọi D , E lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B , C lên AC , AB; H là giao điểm của BD và CE . a) Chứng minh tứ giác BECD nội

a) Theo giả thiết . Khi đó tứ giác BECD  có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh  dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BECD nội tiếp.

b) Tứ giác BECD nội tiếp nên BED^  (cùng bù với ).

Xét ΔADE  và  ΔABC có AED^=ACB^  và A^ chung nên  ΔADE∽ΔABC.

Do đó ADDE=ABBC⇔DE⋅AB=BC⋅AD.

Từ ADDE=ABBC⇒DEBC=ADAB.

Vì  ΔABD vuông tại D nên ta có

DEBC=ADAB=cosBAD^=cos45°=22.

c) ΔABD vuông tại D  và BAD^=45° nên ABD^=45°⇒EBH^=45°

⇒ΔEBH vuông cân tại  E ⇒HE=BE.     (1)

Chứng minh tương tự ΔCDH  vuông cân tại  D ⇒HD=CD.        (2)

Từ  (1) và (2)  suy ra HE+HD=BE+CD.

d) Vì I  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC .

Ta có  thuộc trung trực của ; E thuộc trung trực của AC  (vì tam giác AEC vuông cân tại E) suy ra  EI⊥AC⇒EI⊥AD.           (3)

Chứng minh tương tự DI⊥AB⇒DI⊥AE .           (4)

Từ (3) và (4) suy ra  là trực tâm của ΔAED⇒AI⊥DE .