Cho tam giác [ABC] có ba góc nhọn và đường cao [BE]. Gọi [H] và [K] lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ

Chứng minh tứ giác \[BHEK\] nội tiếp.

Ta có  \(H,K\) là chân đường vuông góc từ \(E\) xuống \(AB\) \(BC\) nên \(\widehat {BHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BKE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 180^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác \(BHEK\).

Vậy tứ giác \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh \[BH.BA = BK.BC\]

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\), đường cao \(EH\) có: \(BH.BA = B{E^2}\).

Chứng minh tương tự ta có: \(BK.BC = B{E^2}\).

Vậy \(BH.BA = BK.BC\).

Chứng minh \[H,I,K\] thẳng hàng.

Vì \(CF \bot AB\) tại \(F\) nên \(\widehat {BFC} = 90^\circ \)

Vì \(BE \bot AC\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(BCEF\) có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC}\) (cùng bằng \(90^\circ \)), mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(BC\)

Do đó tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {HFE}\) (cùng phụ với \(\widehat {BFE}\))     \(\left( 1 \right)\)

Vì \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BHK} = \widehat {BEK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\)).                                     \[\left( 2 \right)\]

Xét \(\Delta HEF\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(EF\) nên \(IH = IF = IE = \frac{1}{2}EF\).

Suy ra tam giác \(FHI\) cân tại \(I\), do đó \(\widehat {HFE} = \widehat {FHI}\) \[\left( 3 \right)\]

Mặt khác \(\widehat {BEK} = \widehat {BCE}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {EBC}\)) \[\left( 4 \right)\]

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {FHI}\).

Do tam giác \(ABC\) nhọn, hai điểm \(I,K\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(HF\) nên  là ba điểm thẳng hàng.