Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R). Các đường cao AD, CE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

7/9

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $\left( {O\,;\,\,R} \right).$ Các đường cao $AD,\,\,CE,\,\,BF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H.$

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp.

b) Kéo dài $AD$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $K.$ Kéo dài $KE$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $I.$ Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $EF.$ Chứng minh $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ và $C{E^2} = CN \cdot CI.$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC.$ Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$ Chứng minh ba điểm $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy để làm $1000$ chiếc lon thế này cần \[1\,\,413\,\,000\] đồng. (ảnh 1)$

a) Vì $CE,\,\,BF$ là hai đường cao của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $CE \bot AB\,;\,\,BF \bot AC$ hay $\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,\,\,E,\,\,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên ba điểm $A,\,\,F,\,\,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Do đó, các điểm $A,\,\,E,\,\,H,\,\,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Vậy $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AH.$

b) Vì tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat {HEF} = \widehat {HAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Mà $\widehat {HAF} = \widehat {KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra \[\widehat {HEF} = \widehat {KIC}\,\,( = \widehat {HAF}\,)\] nên $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ (đpcm).

Xét $\Delta CIE$ và $\Delta NEC$ có:

$\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ (cmt); $\widehat {ECI}$ chung.

Do đó $Δ C I E ∽ Δ N E C (g . g)$

Suy ra $\frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}$ nên $C{E^2} = CN \cdot CI.$

Vậy $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ và $C{E^2} = CN \cdot CI.$

c) Ta có $PE = PF$ (do $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$) nên $P$ thuộc đường trung trực của $EF.$

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $ME = MB = MC$.

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $MF = MB = MC$, do đó $ME = MF = MB = MC.$

Khi đó $M$ thuộc đường trung trực của $EF$ nên $PM$ đường trung trực của $EF.$ (*)

Ta cần chứng minh $N$ thuộc đường trung trực của $EF$.

Theo câu b) ta có suy ra $\frac{{NE}}{{IE}} = \frac{{NC}}{{CE}}$ nên $NE = \frac{{IE \cdot NC}}{{CE}}.$

Mặt khác, $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat {AFE} = \widehat {AHE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra $180^\circ - \widehat {AFE} = 180^\circ - \widehat {AHE}$ nên $\widehat {CFN} = \widehat {KHE}.$

Xét $\Delta CFN$ và $\Delta KHE$ có

$\widehat {CFN} = \widehat {KHE}$ (cmt); $\widehat {FCN} = \widehat {HKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $Δ C F N ∽ Δ K H E (g . g)$ .

Suy ra $\frac{{FN}}{{HE}} = \frac{{CN}}{{KE}}$ nên $FN = \frac{{HE \cdot CN}}{{KE}}$

Khi đó ta có \[\frac{{NE}}{{FN}} = \frac{{IE \cdot NC}}{{CE}}:\frac{{HE \cdot NC}}{{KE}} = \frac{{IE \cdot NC \cdot KE}}{{CE \cdot HE \cdot NC}} = \frac{{IE \cdot KE}}{{CE \cdot HE}}\] (1)

Xét $\Delta IEA$ và $\Delta BEK$ có:

$\widehat {IEA} = \widehat {BEK}$ (đối đỉnh); $\widehat {IAE} = \widehat {BKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $Δ I E A ∽ Δ B E K (g . g)$ .

Suy ra $\frac{{IE}}{{BE}} = \frac{{EA}}{{EK}}$ nên $IE \cdot EK = EA \cdot BE$ (2)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CEB$ có:

$\widehat {EAH} = \widehat {ECB}$ (cùng phụ $\widehat {ABC}\,)$; $\widehat {AEH} = \widehat {CEB} = 90^\circ $ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset{⏜}{B I})$ .

Do đó $Δ A E H ∽ Δ C E B (g . g)$ .

Suy ra $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{EH}}{{EB}}$ nên $EC \cdot EH = EA \cdot EB$ (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta có \[\frac{{NE}}{{FN}} = \frac{{IE \cdot KE}}{{CE \cdot HE}} = \frac{{EA \cdot BE}}{{EA \cdot BE}} = 1\] nên $NE = FN.$

Do đó $N$ thuộc đường trung trực của $EF$. (**)

Từ (*), (**) suy ra ba điểm $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.