Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AH. Từ điểm H kẻ HM vuông góc với AB (M  AB) và HN vuông góc với AC .

a) Ta có: HM ^ AB Þ  HMB^=HMA^=90°

HN ^ AC Þ  HNA^=HNC^=90°

Xét tứ giác AMHN có  HMA^+HNA^= 90° + 90° = 180°.

Mà hai góc nằm ở vị trí đối nhau.

Do đó tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Ta có  AMN^=AHN^ (chứng minh trên)

Suy ra  AHN^+NHC^=  AHC^= 90°

Mà  NHC^+NCH^= 90° (∆HNC có  HNC^= 90°)

Nên  AHN^=NCH^ hay  AHN^=ACB^ 

Mà  AMN^=AHN^ 

Do đó  ACB^=AMN^.

c) Ta có  AMN^+BMN^=180° 

Suy ra  ACB^+BMN^ = 180° hay  BMN^+BCN^ = 180°

Do đó tứ giác BMNC nội tiếp.

Suy ra  MBC^+MNC^= 180° hay  ABC^+MNC^ = 180°

Mà tứ giác ADCB nội tiếp đường tròn (O) nên  ABC^+ADC^ = 180°.

Suy ra  MNC^=ADC^ mà  AND^=MNC^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó  AND^=ADC^

Xét ∆AND và ∆ADC có:

 CAD^ chung

 AND^=ADC ^(cmt)

Do đó ∆AND  ∆ADC (g.g)

Suy ra  ANAD=ADAC

Do đó AD² = AN.AC (đpcm).