Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. a) Chứng minh rằng: tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE
18/34
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn, các đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại điểm \[H.\]
a) Chứng minh rằng: 
b) Cho \[AB = 4\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AC = 5\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AD = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Tính độ dài đoạn thẳng \[AE\];
c) Chứng minh rằng: \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACE\] có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAE}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
b) Từ câu a: suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\).
Do đó \(AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2,5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy \(AE = 2,5\;{\rm{cm}}.\)
c) Từ câu a: 
suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\) hay \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\).
Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có:
\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\); \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (cmt)
Do đó 
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Mặt khác, ta có:
• \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)
• \(\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {BEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) nên suy ra \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)