Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. a) Chứng minh rằng: tam giác ABD đồng dạng tam giác ACE; b) Cho AB = 4 cm; AC = 5 cm; AD = 2 cm.Tính độ dài đoạn

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACE\] có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAE}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó ΔABD∽  ΔACE   (g.g) .

b) Từ câu a: ΔABD∽  ΔACE  suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\).

Do đó \(AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2,5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AE = 2,5\;{\rm{cm}}.\)

c) Từ câu a:  suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\) hay \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\).

Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có:

\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\); \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (cmt).

Do đó ΔADE∽  ΔABC  (c.g.c) .

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).        (1)

Mặt khác, ta có:

• \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \). (2)

• \(\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ  - \widehat {BEC} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \).     (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)