Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh BC,AB,AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Trên tia đối của tia MO lấy điểm D sao cho

a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNF\) có:

\(\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ \);

\(NA = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\));

\(NO = NF\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ANO = \Delta BNF\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \[AO = BF\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {NAO} = \widehat {NBF}\) (hai góc tương ứng).

Lại có hai góc \(\widehat {NAO}\) và \(\widehat {NBF}\) ở vị trí so le trong nên \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (hai cạnh góc vuông).

Do đó \(AO = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \[AO = BF\] (câu a) nên \(BF = CE = AO\).

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

• \(AE = BD = CO\);

• \(AF = CD = BO\).

Mặt khác, \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác, hay \(OA = OB = OC\).

Do đó \[AF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC\] nên hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

c) Ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (câu b) nên \(\widehat {PAO} = \widehat {PCE}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AO\,{\rm{//}}\,CE\).

Lại có \(AO\,{\rm{//}}\,BF\) (câu a) nên \(BF\,{\rm{//}}\,CE\).

Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (hai góc so le trong).

Xét \[\Delta BCF\] và \(\Delta EFC\) có:

\(BF = EC\) (câu b);

\(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên);

\(FC\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(BC = EF\) (hai cạnh tương ứng).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(AB = DE\) và \(AC = DF\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:

\(AB = DE;AC = DF;BC = EF\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).