Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. (a) Chứng minh bốn điểm B,F,E,C cùng nằm trên một đường tròn.

a) Vì \[BE\] và \[CF\] là đường cao của tam giác \[ABC\] nên \[\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \].

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có ba điểm \[B,E,C\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có ba điểm \[B,F,C\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra bốn điểm \[B,F,E,C\] cùng nằm trên một đường tròn. (đpcm)

b) Vì tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\] nên \[\widehat {FEC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \].

Mà \[\widehat {FEC} + \widehat {AEF} = 180^\circ \] (kề bù) nên \[\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\]. (đpcm)

• Xét \[\Delta AEF\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\]; \[\widehat {BAC}\] chung

Do đó (g.g)

Suy ra \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2GE}}{{2BI}} = \frac{{GE}}{{BI}}\].

• Xét \[\Delta AEG\] và \[\Delta ABI\] có: \[\widehat {AEG} = \widehat {ABI}\]; \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{GE}}{{BI}}\]

Do đó (c.g.c).

Suy ra \[\frac{{AG}}{{GE}} = \frac{{AI}}{{BI}}\] hay \[GE \cdot AI = AG \cdot BI\]. (đpcm)

c) Gọi giao điểm của \[GI\] và \[KN\] là \[M\].

Xét \[\Delta ABC\] có hai đường cao \[BE\] và \[CF\]cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm của \[\Delta ABC\]

Suy ra \[AH \bot BC\].

Vì nên \[\widehat {AGK} = \widehat {AIN}\].

• Xét \[\Delta AGK\] và \[\Delta AIN\] có: \[\widehat {AGK} = \widehat {AIN}\]; \[\widehat {NAI}\] chung

Do đó (g.g). Suy ra \[\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AN}}\]

• Xét \[\Delta AGI\] và \[\Delta AKN\] có: \[\widehat {NAI}\] chung; \[\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AN}}\]

Do đó (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {AIG} = \widehat {ANK}\] (hai góc tường ứng).

• Xét \[\Delta GMN\] và \[\Delta KMI\] có: \[\widehat {AIG} = \widehat {ANK}\]; \[\widehat {GMN} = \widehat {KMI}\] (đối đỉnh)

Do đó (g.g). Suy ra \[\frac{{GM}}{{NM}} = \frac{{KM}}{{IM}}\].

• Xét \[\Delta GMK\] và \[\Delta NMI\] có: \[\frac{{GM}}{{NM}} = \frac{{KM}}{{IM}}\]; \[\widehat {GMK} = \widehat {NMI}\] (đối đỉnh)

Do đó (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {KGI} = \widehat {KNI}\] (hai góc tường ứng).

Vì \[I\] trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] nên \[I\] là tâm đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[IF = IE\] (bán kính) hay \[\Delta IEF\] cân tại \[I\].

Mà \[G\] trung điểm của đoạn thẳng \[EF\]nên \[IG \bot FE\].

Suy ra \[\widehat {KGI} = 90^\circ \] hay \[\widehat {KNI} = 90^\circ \] nên \[KN \bot BC\].

Mà \[AH \bot BC\] nên đường thẳng \[KN\] song song với đường thẳng \[AH\]. (đpcm)