Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) vẽ các đường cao BD và CE.

c) Vì ΔABD∽  ΔACE (câu a) nên ABAC=BDCE (tỉ số đồng dạng).

Mà M, N  lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BD và CE nên BD=2BM và CE=2CN.

Suy ra ABAC=BDCE=2BM2CN=BMCN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

ABAC=BMCN(chứng minh trên)

ABM^=ACN^(do cùng phụ với BAC^)

 

Do đó ΔABM∽  ΔACN (c.g.c).

Suy ra BAM^=CAN^ (hai góc tương ứng).

Lại có AK là tia phân giác của MAN^ (giả thiết).

Suy ra MAK^=NAK^ (tính chất tia phân giác của một góc).

Do đó BAM^+MAK^=CAN^+NAK^ hay BAK^=KAC^.

Nên AK là tia phân giác của BAC^.

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có: ABAC=KBKC.

Do đó KB⋅AC=KC⋅AB (điều phải chứng minh).