Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O) .Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt

a)Xét tứ giác \[AOED\], ta có: \[\widehat {OAD} = 90^\circ \] (tính chất tiếp tuyến )

                                                \[\widehat {OED} = 90^\circ \]( giả thuyết )

\[ \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OED} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Vậy tứ giác \[AOED\]nội tiếp đường tròn

b)Ta có \[AOFD\] là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {OFD} = 90^\circ \]

Suy ra \[DF\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]

Xét \[\Delta DFB\] và \[\Delta DCF\], ta có:

\[\widehat D\]:góc chung

\[\widehat {DFB} = \widehat {DCF}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: \[\Delta DFB \sim \Delta DCF(g - g) \Rightarrow \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta DAB\] và \[\Delta DCA\], ta có:

\[\widehat D\]:góc chung

\[\widehat {DAB} = \widehat {ACB}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: \[\Delta DAB \sim \Delta DCA(g - g) \Rightarrow \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 2 \right)\]

Vì \[DF = DA\] ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]

c)Ta có: \[GC = GB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

               \[OC = OB\]  (bán kính)

Nên \[OG\] là đường trung trực của \[BC\], suy ra \[OG \bot BC\]

Mặt khác: \[OE \bot BC\], nên ba điểm \[O,E,G\] thẳng hàng.

Ta có: \[OA = {\rm{OF; DA = DF}}\]; nên \[{\rm{OD}}\] là đường trung trực của \[{\rm{AF}}\]

Do đó \[{\rm{OD}} \bot {\rm{AF}}\] tại  \[H\](5)

Tam giác \[OCG\] vuông tại  \[C\] nên \[OE.OG = O{C^2}\]

Tam giác \[OAD\] vuông tại \[H\] nên \[O{A^2} = OH.OD\]

Mà \[OA = OC\] nên  \[OE.OG = OH.OD\]. Suy ra \[EHDG\] là tứ giác nội tiếp.

Mà  \[\widehat {GED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {GHD} = 90^\circ \] (6)

Từ (5) và (6), suy ra \[A,F,G\] thẳng hàng.