Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn ( O ) . Gọi BE , CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC . a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội

1/2

Cho tam giác$ABC$ có ba góc nhọn, $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $BE$, $CF$ là các đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$ cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai \[I\] (\[A\] không trùng với \[I\]). Chứng minh hai tam giác \[IBC\] và \[IFE\] đồng dạng với nhau.

c) Hai đường thẳng \[BC\] và \[EF\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh ba điểm \[A,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\]thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác$ABC$ có ba góc nhọ (ảnh 1)$

a) Xét tứ giác $AEHF$, ta có: $\widehat {AFH} = 90^\circ $(Vì CF là đường cao của tam giác ABC)

$\widehat {AEH} = 90^\circ $( Vì BE là đường cao của tam giác ABC)

Do đó \[\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Vậy tứ giác $AEHF$là tứ giác nội tiếp .

b) Xét tứ giác $AEHF$, ta có: $\widehat {IEF} = \widehat {IAF}$(cùng chắn )

$\widehat {IAF} = \widehat {IBC}$ (cùng chắn )

Do đó $\widehat {IEF} = \widehat {IBC}$

Tương tự, $\widehat {FIE} = \widehat {FAE}$ (cùng chắn )

$\widehat {FAE} = \widehat {BIC}$(cùng chắn )

Do đó $\widehat {FIE} = \widehat {BIC}$

Xét $\Delta IBC$ và $\Delta IFE$, ta có: $\widehat {IEF} = \widehat {IBC}$(cmt)

$\widehat {FIE} = \widehat {BIC}$(cmt)

Do đó

c)

Tứ giác $IAEF$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {IFK} = \widehat {IAE}$

Tứ giác $IABC$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {IBK} = \widehat {IAE}$

Suy ra $\widehat {IFK} = \widehat {IBK}$

Suy ra tứ giác $IFBK$ nội tiếp (có hai đỉnh $B,F$ kề cùng nhìn cạnh $IK$ dưới một góc bằng nhau).

Vậy $\widehat {KIF} + \widehat {KBF} = 180^\circ $, mà $\widehat {KBF} = \widehat {FEC} = \widehat {FIA}$

$ \Rightarrow \widehat {KIF} + \widehat {FIA} = 180^\circ $ hay ba điểm \[A,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\]thẳng hàng.