Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ), nội tiếp đường tròn ( O )

a) Chứng minh tứ giác \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SO\), suy ra \(SM = MO = \frac{{SO}}{2}\)                                                      \(\left( 1 \right)\)

Xét \[\Delta SAO\] vuông tại \(A\) có M là trung điểm của \(SO\)

\( \Rightarrow AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(SO\)

\( \Rightarrow \)\(AM = \frac{1}{2}SO\).                                                      \(\left( 2 \right)\)

Xét \(SIO\) vuông tại \(I\) có \(M\) là trung điểm \(SO\)

\( \Rightarrow IM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(SO\)

\(IM = \frac{1}{2}SO\)                                                      \(\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và \(\left( 3 \right)\) ta có: \(AM = IM = SM = MO = \frac{{SO}}{2}\)

Suy ra bốn điểm S, A, O, I cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \(SAOI\) nội tiếp đường tròn đường kính \(SO\).

b) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \[{\rm{A}}\] đến các đường thẳng \(SO\) và \(SC\). Chứng minh \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).

Theo ý a), ta có: Tứ giác \(SAOI\) nội tiếp nên \(\widehat {SOA} = \widehat {SIA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn );

\( \Rightarrow 90^\circ  - \widehat {SOA} = 90^\circ  - \widehat {SIA}\);

Mà \(90^\circ  - \widehat {SOA} = \widehat {OAH}\) (\(\Delta AHO\) vuông tại \(H\)); \(90^\circ  - \widehat {SIA} = \widehat {IAD}\) (\[\Delta ADI\] vuông tại \(D\))

\( \Rightarrow \widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).

c) Vẽ đường cao \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BE\). Đường thẳng \(QD\) cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\).

Xét \(\Delta BOC\) cân tại \(O\) có: \(OI \bot BC\)

\( \Rightarrow \)\(OI\) là đường cao

\( \Rightarrow OI\) cũng là đường trung tuyến

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(BC\) .

Mà \(Q\) là ttrung điểm của \(BE\)

\( \Rightarrow IQ\) là đường trung bình của \(\Delta BEC\)

\( \Rightarrow IQ{\rm{ // }}CE\) mà \(CE \bot AB\)

\( \Rightarrow IQ \bot AB\), lại có \(\widehat {IDA} = 90^\circ \left( {AD \bot SC} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AQDI\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AI\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {QAI} + \widehat {QDI} = 180^\circ \) mà \(\widehat {BDQ} + \widehat {QDI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {BDQ} = \widehat {QAI}\left( { = 180^\circ  - \widehat {QDI}} \right)\).

Xét \(\Delta BDQ\) và \(\Delta BAI\) có:

\(\widehat B\) chung; \(\widehat {BDQ} = \widehat {BAI}\) (chứng minh trên);

 

\( \Rightarrow \frac{{BD}}{{BQ}} = \frac{{BA}}{{BI}} \Rightarrow BQ.BA = BD.BI\).