Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

7/9

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$của $\Delta ABC$ cắt nhau tại điểm $H$

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC$ và \[EF\]. Chứng minh $KB.KC = KE.KF$ và $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DFK$. Chứng minh đường thẳng $IF$ vuông góc với đường thẳng $MF$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn \((AB < AC (ảnh 1)$

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn:

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $BC$ là cạnh huyền nên $B,C,E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ + Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $BC$là cạnh huyền nên $B,C,F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ Do đó $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

b) Chứng minh $KB.KC = KE.KF$ và $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

Vì $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$).

Xét $\Delta KBE$ và $\Delta KFC$ có: $\widehat {BKF}$ chung; $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$(cmt)

Do đó $Δ K B E ∽ Δ K F C (g.g)$ suy ra $\frac{{KB}}{{KF}} = \frac{{KE}}{{KC}}$ nên $KB.KC = KE.KF$

Vì tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {EFB} + \widehat {ECB} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {EFB} + \widehat {KFB} = 180^\circ $ (kề bù) nên $\widehat {ECB} = \widehat {KFB}$ (3)

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta BFC$ có: $\widehat {FBD}$ chung; $\widehat {BDA} = \widehat {BFC} = 90^\circ \,{\rm{(gt)}}$.

Do đó $Δ B D A ∽ Δ B F C (g.g)$

Suy ra $\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}$ nên $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}$.

Xét $\Delta BFD$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat {FBD}$ chung; $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ (cmt)

Do đó $Δ B F D ∽ Δ B C A (c.g.c)$ suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {BFD}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {BFD} = \widehat {KFB}\,\,( = \widehat {ECB})$ nên $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

c) Chứng minh đường thẳng $IF$ vuông góc với đường thẳng $MF$.

Gọi $FN$ là đường kình của $(I)$; $FB$ cắt $(I)$ tại $P$ nên $\widehat {FPN} = 90^\circ $.

Vì $\widehat {ACB} = \widehat {KFP}$ (cùng bù với $\widehat {BFE}$) (5)

Vì $\widehat {KPF} = \widehat {KDF}$ mà $\widehat {KDF} = \widehat {BAC}$ nên $\widehat {KPF} = \widehat {BAC}$(6)

Từ (5) và (6) nên suy ra $\widehat {PKF} = \widehat {ABC}$

Mà $\widehat {PKF} = \widehat {PNF}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $FP$ của $(I)$)

Suy ra $\widehat {FNP} = \widehat {FBC}$ và $\widehat {NPF} = \widehat {BFC} = 90^\circ $ nên

Suy ra $\widehat {NFP} = \widehat {BCF}$

Mà $\widehat {MFC} = \widehat {BCF}$ (vì $\Delta MFC$ cân tại $M$ có $MF = MC = \frac{{BC}}{2}$) nên $\widehat {NFP} = \widehat {MFC}$.

Do đó $FI$ vuông góc với đường thẳng $MF$.