Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao BE,AK và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: tam giác ABK đồng dạng ttamgiacs CBF . b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB
12/13
1. Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây. Biết cọc cao \[1,5\,\,{\rm{m}}\] so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây \[8\,\,{\rm{m}}\] và cách bóng của đỉnh cọc \[2\,\,{\rm{m}}.\] Tính chiều cao của cây. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right).\] Kẻ đường cao \[BE,{\rm{ }}AK\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H.\]
a) Chứng minh: ΔABK∽ ΔCBF .
b) Chứng minh: \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\).
c) Gọi \[N\] là giao điểm của \[AK\] và \[EF,{\rm{ }}D\] là giao điểm của đường thẳng \[BC\] và đường thẳng \[EF\] và \[O,{\rm{ }}I\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[AH.\] Chứng minh \[ON\] vuông góc \[DI.\]
Hướng dẫn giải
1. Ta có \(AB \bot AE;\,\,CD \bot AE\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).
Xét tam giác \(ABE\) có \(CD\,{\rm{//}}\,AB\), ta có
\[\,\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}\] (hệ quả của định lí Thalès).
Hay \[\frac{{1,5}}{{AB}} = \frac{2}{{2 + 8}}\] suy ra \[AB = 7,5\,\,{\rm{m}}\].
Vậy chiều cao của cây là \[7,5\,\,{\rm{m}}\].
2.
a) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CBF\] có:
\[\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]
\(\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó ΔABK∽ ΔCBF (g.g) .
b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta ACF\] có:
\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\)
\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó ΔAEB∽ ΔACF (g.g)
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) (đpcm)
c)
• Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(FO = \frac{{BC}}{2}\) (1)
• Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(EO = \frac{{BC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) nên suy ra \[FO = EO\] (5)
• Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(EI = \frac{{AH}}{2}\) (3)
• Xét \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(FI = \frac{{AH}}{2}\) (4)
Từ (3) và (4) nên suy ra \[FI = EI\] (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra được \[OI\] là đường trung trực của cạnh \[EF\].
Khi đó \[OI \bot EF\] hay \[OI \bot DN\].
Do đó \[DN\] là đường cao của \[\Delta DOI\].
Xét \[\Delta DOI\] có \[DN\] và \[IK\] là đường cao và \[N\] là giao của \[DN\] và \[IK\].
Do đó \[N\] là trực tâm của tam giác \[DOI\].
Vậy \[OI \bot DI\] (đpcm).