Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC

12/12

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

b) Chứng minh AE.AB=AF.AC

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số OKBC khi tứ giác OHBC nội tiếp.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC (ảnh 1)

a) Ta có ∠BEC=∠BFC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒∠AEH=∠AFH=900 (kề bù) ⇒∠AEH+∠AFH=900+900=1800 nên tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔAFB và ΔAEC có : ∠A chung; ∠AEH=∠AFB=900

⇒ΔAFB~ΔAEC(g−g)⇒AFAB=AEAC (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AF.AC=AB.AE(dfcm)

c) Khi OHBC nội tiếp ⇒∠BHC=∠BOC mà ∠BHC=∠EHF (đối đỉnh)

mà ∠EAF+∠EHF=1800 (tính chất tứ giác nội tiếp) nên ∠EAC+∠BOC=1800

mà ∠BOC=2∠BAC (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn BC⏜)

⇒∠BOC=1200⇒∠BOK=600

ΔBOK vuông tại K (tính chất đường kính dây cung)

Ta có : ΔBOK vuông tại K có O^=600

⇒OKBK=13 mà BC=2BK⇒BK=BC2

⇒OKBK=OKBC2=13⇔2OKBC=13⇔OKBC=123=36